2
-2022
..
( -1)
: :100
: A, B, C D - - ,
-
1. (i) qd= 25 - 2p ..= - 2 + p , 75
(ii) :
(iii) 4x 4 - 4x3 - 7x2 - 4x + 4 = 0
2.(i) AP n , pth (3p)/4 + 1
(ii) 16 , 8 , ?
(iii) a, b, c, d GP , a - bb - cc - d GP
2
-
3. (i) 700 , 200 1,900 , x
y , x
(ii) -
(iii) (2, 0), (4, -2) (5, -3) '
4. (i) -
(ii) ,
(iii) A B A 25 , B 20 AB 35
AOB
-
5. (i) -
(ii)
6. log x ex
-
7. (i) wrtx
(ii) (
(iii) wrt x, ax + xx + ex
2
8. (i) p = 3
(ii) y = 20 + 20x + 0.5x 2 y x
, AC MC
-2022
..
( -1)
: :100
: A, B, C D - - ,
-
1. (i) qd= 25 - 2p ..= - 2 + p , 75
(ii) :
(iii) 4x 4 - 4x3 - 7x2 - 4x + 4 = 0
: 1 (i):
...
:
2
'
() ()
:
• :
qd=25−2p( - , )
• :
qs=−2+p ( - , )
( = ) ,
qd=qsq_d = q_sqd=qs
',
1:
qd=qsq_
25−2p=−2+p
p () :
2p2p2p :
25=−2+3p
2 :
27=3p
3 :
= 9
q () p = 9
qd=25−2p
q=25−2(9)=25−18=7
:
• (p): ₹9
• (q): 7
2
2: ₹75
,
,
,
, p (p - 75)
,
:
:
qs=−2+p
:
qs=−2+(p−75)=−2+p−75=−77+p
:
25−2p=−77+p
2p :
25=−77+3p
77 :
102=3p
3 :
= 34
:
q=25−2(34)=25−68=−43
!
, ' ,
(p - 75) -
:
:
:
qs=−2+(p−75)=−2+p−75=p−77
:
25−2p=p−77
2p :
2
25=3p−77
77 :
102=3p = 34
:
q=25−2(34)=25−68=−43
, ! , -
-
-
:
• =
• ( ) '
•
1 (ii): :
-- ,
1:
, -
:
: x≥5
2:
:
2
, :
:
x = 5 :
x = 1 :
x = 6 :
x = 0.5 :
x = 5.2 :
x = 0.01 :
:
:
:
x :
2
:
:
:
? :
:
x = 0.086 ( ) , :
0.086 ,
(x ≥ 5)
,
1 (iii): :
1:
(±1, ±2, ±4) (±1, ±2, ±4)
x = 1 :
4(1)4 – 4(1)3 – 7(1)2 – 4(1) + 4 = 4 – 4 -7 4 = 4 =-7 0 = 2 :4(16) – 4(8) – 7(4) – 4(2)
+4 = = - 1: \[4(-1)4 – 4(-1)3 - 7 (-1)2 -4(-1) + 4 = 4 + 4 = 7 + 4 + 4 = 9
= - 2 :\[4(16) = 4(=8) = 7(4) – 4(-2) + 4 =
……
,
:
x = 1 :
2
4 – 4 – 7 – 4 + 4 = -7 = 2 : \[64 – 32 – 28 – 8 + 4 +Not0
, Weget :
:\[4x4 – 4x3 – 7x2 - 4x + 4 = (x2 – x - 1) (4x2 + 4x - 4)
:
:
,
()
,
:
1. - -
2.
-
3.
, , -
!
2.(i) AP n , pth (3p)/4 + 1
(ii) 16 , 8 , ?
(iii) a, b, c, d GP , a - bb - cc - d GP
: -:
-
,
:
2
1. (AP)-
2. (GP)-
- ,
, , '
AP GP
(i): AP n , p-th
:
AP p-th :
AP n
1:
AP p-th :
= 1, = 2,, , ,
:
:
:
, d.
2
AP :
AP :
2: AP
AP n :
:
• a = =
• d = =
:
:
:
(ii):
:
2
16 8 , ?
1:
, a b (GM) :
:
• = 16
• ( a) = 8
• ( b)
2:
: 32
8 32 , 16
:
(iii): a, b, c, d GP ,
:
:
a,b,c,d
:
a−b, b−c, c−d
2
1: GP a r
a r GP :
•
•
• 2
• 3
:
:
GP
r
:
, GP
(i)
p-th AP
a d Tp=a+(p−1)d ,
(ii)
ab=
32
(iii)
GP
a−b, b−c, c−d
:
2
:
1. :
2. :
, ( ),
( ) AP GP
3. :
:
• AP ₹100 '
• -
• (iii)
;
,
, ,
-
,
-
!
-
3. (i) 700 , 200 1,900 , x
y , x
(ii) -
(iii) (2, 0), (4, -2) (5, -3) '
:-
,
:
1.
2
2.
3.
- — ,
-
(i): y = f(x)
:
• = ₹700
• 200 = ₹1900
• x '
• x y
?
1
100, — ,
,
- , , ,
₹5
, 100 ₹500
, - ,
1:
:
y = mx + c
:
• y x
• m ()
• c ()
2
2:
:
• c = 700
• x = 200 ', y = 1900
:
1900 = * 200 + 700
700 :
1200 = 200
m :
= 1200 / 200 = 6
, ₹6
3:
m = 6 c = 700 :
y = 6x + 700
,
x ,
₹(6x + 700)
500 x = 500 :
y = 6(500) + 700 = 3000 + 700 = ₹3700
, 500 , ₹3700
(ii):
5 - : , , , ,
:
• ( )
2
• 3 (
)
?
:
3 ' 5 ,
, -
n ,
r ,
:
• (, ) = ! / ( - )!
n! (n ) n × (n–1) × (n–2)... × 1
:
5 3 ?
P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5 × 4 × 3 = 60
?
,
:
5 3
--
--
C(n, r) = n! / [r!(n - r)!]
:
5 3 ?
C(5, 3) = 5! / [3! × (5 - 3)!] = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10
2
-
-
' (
)
(
)
(iii): ' ?
' 3
:
• (2, 0)
• (4, –2)
• (5, –3)
' , ,
1: A B
(x₁, y₁) (x₂, y₂) :
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
AB :
m = (–2 – 0) / (4 – 2) = –2 / 2 = –1
2: B C
m = (–3 – (–2)) / (5 – 4) = (–1) / 1 = –1
AB = BC = –1, '
3:
:
• m = –1
• ' : A(2, 0)
- :
2
y – y₁ = m(x – x₁)
:
y – 0 = –1(x – 2)=> y = –x + 2
:
, ' : y = –x + 2
-
'
,
: '
1.
• = ₹700
• 200 = ₹1900
• : y = 6x + 700
2.
?
-
P(n, r) = n! / (n – r)!
'
C(n, r) = n! / [r!(n – r)!]
3. 3
• : (2,0), (4,–2), (5,–3)
•
• : y = –x + 2
2
- ,
, , , ,
" " ,
-
4. (i) -
(ii) ,
(iii) A B A 25 , B 20 AB 35
AOB
: -: -
- , "
"
, "
"
, " ?"
,
-- , ,
,
(i)
?
, - ,
•
•
2
:
• : {a, e, i, o, u}
• 10 : {2, 4, 6, 8}
•
: {, , , , , , }
' (A, B, C, )
,
:
-
1. ( ):
,
: φ {}
: A = 200 ', A = {}
2. :
:
B = = {, , ..., }
3. :
( )
:
C = = {1, 2, 3, 4, ...}
4. :
,
2
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 1}, A = B
5. :
,
:
X = {a, b, c}, Y = {1, 2, 3} 3
6. :
A, B A B
: A B
:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, A B
7. :
, A B A, B
A ≠ B
8. :
:
1 10 , U = {1, 2, 3, ..., 10}
9. :
-
:
A = {1, 2}, P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }
10. :
2
:
A = {1, 2}, B = {3, 4} A ∩ B = φ
(ii) : , ,
,
,
1. (A B):
A B A B
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}A B = {1, 2, 3, 4, 5}
:
• : =
• :(A B) C = A (B C)
• :A A = A
• : A φ = A
2. (A ∩ B):
A B A B
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}A ∩ B = {3}
:
• : ∩ = ∩
• :(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• :A ∩ A = A
• : ∩ φ = φ
2
3. (Aᶜ) :
A U A
:
U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, Aᶜ = {4, 5}
:
• A Aᶜ = U
• A ∩ Aᶜ = φ
• (Aᶜ)ᶜ = A
(iii)
:
• A = n(A) = 25
• B = n(B) = 20
• A ∩ B = n(A ∩ B) = 35
n(A B) = A B
:
:
n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
:
n(AB)=25+20−35=10n(A B) = 25 + 20 - 35 = 10n(AB)=25+20−35=10
:
A B (, A B ) 10
?
A 25 B 20, 35 A B
,
,
25 , 20 , 35
-
2
,
()
?
, :
•
•
•
•
•
,
:
• ,
• , , , ,
•
•
•
• n(A B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ,
-
,
,
;
2
-
5. (i) -
(ii)
: I:
?
,
,
, :
, ,
:
•
()
•
•
', :
X Y f X x
Y y
:
f(x) = y
,
• X ( )
• Y ( )
• f(x) x ( ) '
2
-
:
•
1
→
•
2 →
•
3 →
,
2
—
-
, -
1. -- ( )
,
:
f(x) = x + 2 x = 1 → f(1) = 3x = 2 → f(2) = 4x = 3 → f(3) = 5
,
2. ' ( )
onto , Y X
:
f(x) = x² {−2, −1, 0, 1, 2} codomain {0, 1, 4} codomain
"" - onto
3. -- ' ( )
-- -
2
:
f(x) = x + 1: {1, 2, 3}: {2, 3, 4}, ,
,
4.
:
f(x) = 5
f(1) = 5, f(2) = 5, f(100) = 5 x , f(x) = 5
,
!
5.
:
f(x) = x
f(2) = 2, f(5) = 5 —
6.
x , :f(x) = x² + 2x + 3
7.
,
:
f(x) = (x² + 1) / (x + 2)
(
)
2
8.
:
f(x) = 2^x- x ,
9.
:
f(x) = (x)
- x
10.
- '
:
f(x) = (x), f(x) = cos(x)
'
II:
,
?
,
,
!
,
:
, f(x) = (x² - 1)/(x - 1)
2
x = 1 :
→ (1² - 1)/(1 - 1) = 0/0 =
!
1 :
• f(0.9) = (0.81 - 1)/(-0.1) = -1.9
• f(0.99) = (0.9801 - 1)/(-0.01) = -1.99
• f(1.01) = (1.0201 - 1)/(0.01) = 2.01
2
,
f(x) 2 , :
f(1)
,
- -
• - : (x )
• : (x )
,
?
- ,
' :
1. f(x) '
2.
3. '
':
2
,
1.
' " "
: x < 0 1 x ≥ 0 2
2.
: f(x) = 1/x x = 0 , x = 0
3.
—
" "
:
f(x) = (x² - 1)/(x - 1), x = 1 ' f(x) = x + 1
, x = 1 '
?
• ( )
• - ( , )
• ,
:
,
- ,
2
— (), (),
(, ), (, )
,
?
-
,
?
, - , ,
' ,
- ,
6. log x ex
: -:
' '
-
, '
"" ?
, ,
,
:
1. f(x)=logx
2. f(x)=ex
,
2
?
'
:
xxx '
'
: xxx x+h,
, h ' - x ' ()
, '
1: x
f(x)=logx :
1:
:
,
2:
h=xt, h→0 , t→0
:
3: -
- :
2
,
:
?
,
(), , ,
' logx
,
:
- ,
logx : x , xxx
( )
, : x , ( ) , x
, ( )
2: ex
f(x) = ex
?
! :
2
1:
:
,
2: -
:
:
?
ex :
•
•
•
•
, '
, ,
2
'
• x>0x > 0x>0
• xxx
• 1x\frac{1}{x}x1 - xxx
x
• x
• x —
x
,
:
•
• - '
•
?
,
( logx )
)
2
1. ln x2 (:
)
2. a
3. x=1, x=10x, x=100 ' ex logx
:
-
,
-
7. (i) wrtx
(ii) (
(iii) wrt x, ax + xx + ex
: :
,
(log) (eˣ)
-- , ,
1. ?
:
=b
2
,
=x
b a ( )
:
• log₁₀(x) log(x) ( 10)
• ln(x) , e, e ≈ 2.718
2. :
:
• log(a × b) = log a + log b
• log(a / b) = log a – log b
• log(aᵇ) = b log a
3. :
:
x
1 /
ln x
1 /
ˣ
ˣ
ˣln
[f(x)]
f'(x)/f(x)
, --
7 (i):
[(cx + d)/(ax + b)] wrt x
2
:
:
:
:
• log(f(x)) f'(x)/f(x)
:
•
\frac{d}{dx}[\log(cx + d)] = \frac{c}{cx + d}]
•
\frac{d}{dx}[\log(ax + b)] = \frac{a}{ax + b}]
:
:
7 (ii):
( ^√(2x))
,
:
2
:
1: e^{√(2x)}
:
:
2: :
:
:
:
:
7 (iii):
+ xx + e^x wrt x
:
2
'
1:
:
2: xx
x
:
:
:
:
y1=xx :
2
3:
:
:
:
:
?
,
'
,
:
log , f(x)
- ?
:
1. ( xx)
2
2. (//)
-
- ?
1. : , ,
/
2. : , ,
3. :
4. : (
)
:
(i)
(ii)
(iii)
,
,
2
,
- x^x log(log(...))
8. (i) p = 3
(ii) y = 20 + 20x + 0.5x 2 y x
, AC MC
: :
' ,
:
1.
2. (AC) (MC)
- — ,
1:
—
,
,
?
:
" , ; ,
- "
:
(PED)
2
10% 2% ,
(
)
20% ,
( )
, :
:
• dq ( )
• p
• q
(i): q=20p+1q = \frac{20}{p + 1}q=p+120 , p=3p = 3p=3
:
1: p = 3 q
:
p=3p = 3p=3:
2:
:
:
2
p=3p = 3p=3 ', :
3:
:
:
1 , p=3p = 3p=3 ' :
• 1% 1%
•
:
' ,
, ,
2: , ,
:
• - ,
• -
,
(TC)
2
:
:
• y
• x
:
• 20: (
)
• 20x:
• 0.5x2: (, , )
(AC) ?
(AC) :
,
:
- x ,
,
—
'
(MC) ?
(MC)
', :
2
:
,
-
,
?
- ,
:
4
(x=4x = 4x=4)
1:
2:
:
3:
?
,
:
• ?
• ?
2
• ?
, ,
'
•
• 1 ( )
• :
• AC
• MC
• , ,
, ,
- , ,
- ,
" " " " ,
—
—
"
, "
